数学抽象

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数学抽象[1]  (mathematical abstraction)是数学哲学的基本概念.指抽取出同类数学对象的共同的、本质的属性或特征,舍弃其他非本质的属性或特征的思维过程。
数学抽象基本上可划分为四种类型: 1.弱抽象.即从原型中选取某一特征(侧面)加以抽象,使原型内涵减少,结构变弱,外延扩张,获得比原结构更广的结构,使原结构成为后者的特例.弱抽象的关键在于从数学对象的众多属性或特征中辨认出本质属性或特征,从貌似不同的同类数学对象中找出共同的东西.这种抽象思维的法则可称为:“特征分离概括化法则”. 2.强抽象.即通过在原型中引人新特征,使原型内涵增加,结构变强,外延收缩,获得比原结构内容更丰富的结构,使后者成为前者的特例.强抽象的关键是把一些表面上看来互不相关的数学概念联系起来,引进某种新的关系结构,并把新出现的性质作为特征规定下来.这种抽象思维的法则可称为:“关系定性特征化法则”. 3.构象化抽象.即根据数学发展的逻辑上的需要,构想出不能由现实原型直接抽取的、完全理想化的数学对象,作为一种新元素添加到某种数学结构系统中去,使之具有完备性,即运算在此结构系统中畅行无阻.如在实变函数论中,勒贝格可积函数与平方可积函数概念的引人,就使1.,与1.Z均成为完备空间.这种抽象思维的法则可称为:“新元添加完备化法则”. 4.公理化抽象.即根据数学发展的需要,构想出完全理想化的新的公理(或基本法则),以排除数学悖论,使整个数学理论体系恢复和谐统一非欧几何学平行公理、非阿基米德公理等都是公理化抽象的产物.这种抽象思维的法则可称为:‘.公理更新和谐化法则”.
参考资料
  • 1.    数学辞海第六卷