数学真理

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数学真理 (mathematical truth)数学哲学的基本概念。
中文名
数学真理
外文名
mathematical truth
定    义
数学哲学的基本概念
.数学真理可作狭义和广义两种理解.狭义的理解仅局限于数学理论体系内部,指人们的认识正确反映了作为思想事物的纯粹的量的形式和关系及其规律;广义的理解还包括数学理论的实际应用,指人们建立的数学模型正确反映了客观物质形态的量的形式和关系及其规律. 检验数学认识是否具有真理性的惟一的标准,是数学实践.狭义的数学真理要用纯粹数学研究中的实践来检验;广义的数学真理要用数学应用中的实践来检验.这两类实践检验不能相混淆.如果用数学应用中的实践来取代纯粹数学研究中的实践,把应用中的成功或现实模型的建立等同于对数学理论体系自身的实践检验,把数学真理性等同于获得某种现实解释,那就会使数学的发展受实用范围的束缚,使数学的相对独立性受到限制,从而破坏纯粹数学与应用数学的平衡发展和相互关系. 在现代数学中,由于高度的抽象化、形式化和公理化,人们常常认为逻辑相容性(无矛盾性)是检验数学真理的惟一标准,这是不正确的.逻辑相容性只是检验数学真理的间接的标准,只能在局部环节上起作用.逻辑相容性的要求可以保证传递真值,但不能确定数学理论体系的原始真值.因为逻辑相容性的要求不能起到保证数学认识符合数学对象的客观性质及其规律的作用.只有在数学实践中,人们的认识才能不断同客观的数学规律接近,不断一认识数学对象的深刻本质,从中确定数学真理.哥德尔不完全性定理的出现,已经从理论上表明,逻辑相容性的要求不可能成为检验数学真理的惟一标准. 同其他学科领域的真理一样,数学真理的发展也要经历由相对真理向绝对真理不断接近的过程.在数学史上,人们曾长时间以为数学真理是绝对真理,而每一数学分支领域的真理都具有惟一性和绝对不变性.19世纪以后的数学发展表明,即使在同一数学分支内,也可能存在几种并行不悖的数学真理,它们各有不同的适用范围.非欧几里得几何、非交换和非结合的代数、非康托尔集合论等成果的出现,都表明了数学真理的适用范围的存在,表明了人们对数学真理认识的相对性. 数学真理和数学公理是既有联系又有区别的.按照现代公理学的观点,数学公理只是数学理论体系的初始概念之间一些符合逻辑要求的基本关系,是形式系统中作为出发点的基本公式.数学公理包含数学真理的成分,但它不是完全的、绝对的数学真理.数学公理需要在实践中不断完善和发展,不可能成为数学发展的一劳永逸的逻辑基础.